两圆的公共弦长怎么求

【两圆的公共弦长怎么求】在平面几何中，两圆的公共弦是指两个相交圆的交点所连成的线段。求两圆的公共弦长是解析几何中的常见问题，涉及到圆的方程、几何性质以及代数运算。下面将从原理到方法进行总结，并通过表格形式展示关键步骤和公式。

一、基本概念

- 两圆相交：当两个圆有且仅有两个交点时，这两个交点之间的线段称为公共弦。

- 公共弦长：即两交点之间的距离。

- 求解目标：已知两圆的方程或圆心坐标与半径，求出它们的公共弦长度。

二、求解步骤（以两圆的一般方程为例）

设两圆的方程分别为：

$$

C_1: (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2 \\

C_2: (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2

$$

步骤1：联立两圆方程

将两个方程相减，消去二次项，得到一条直线方程，即两圆的公共弦所在的直线。

$$

(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 - [(x - a_2)^2 + (y - b_2)^2] = r_1^2 - r_2^2

$$

展开并整理后可得：

$$

2(a_2 - a_1)x + 2(b_2 - b_1)y + (a_1^2 + b_1^2 - a_2^2 - b_2^2) = r_1^2 - r_2^2

$$

这是公共弦所在直线的方程。

步骤2：求两圆圆心之间的距离

设两圆圆心为 $ O_1(a_1, b_1) $ 和 $ O_2(a_2, b_2) $，则圆心距为：

$$

d = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2}

$$

步骤3：利用勾股定理求公共弦长

若两圆相交，则公共弦长 $ L $ 可由以下公式计算：

$$

L = 2\sqrt{r_1^2 - \left(\frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d}\right)^2}

$$

或者更简洁地表示为：

$$

L = 2\sqrt{r_1^2 - h^2}, \quad \text{其中 } h = \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d}

$$

三、关键公式汇总表

四、注意事项

- 若两圆不相交（如内含或外离），则没有公共弦；

- 若两圆相切，则公共弦退化为一个点，长度为0；

- 实际应用中，可以使用向量法或几何作图辅助计算。

五、小结

求两圆的公共弦长是一个结合代数与几何知识的问题。通过联立方程求出公共弦所在直线，再结合圆心距和半径，利用勾股定理即可得出结果。掌握这些方法不仅有助于解决数学题，也能在工程、物理等实际问题中发挥作用。

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