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数学期望公式

2025-10-09 14:54:58 来源：用户：

【数学期望公式】在概率论和统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在大量重复试验中所表现出的平均值。数学期望不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也广泛用于风险评估、金融分析、决策制定等领域。

一、数学期望的基本定义

数学期望（Expected Value），通常用 $ E(X) $ 表示，是随机变量 $ X $ 在所有可能取值上按照相应概率加权后的平均值。它反映了随机变量的“中心位置”。

离散型随机变量的数学期望：

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)

其中，$ x_i $ 是随机变量的第 $ i $ 个可能取值，$ P(x_i) $ 是该取值发生的概率。

连续型随机变量的数学期望：

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

其中，$ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数。

二、数学期望的性质

三、常见分布的数学期望

以下是一些常见概率分布的数学期望公式：

分布名称	概率质量函数/密度函数	数学期望 $ E(X) $
伯努利分布	$ P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k} $, $ k=0,1 $	$ p $
二项分布	$ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $	$ np $
泊松分布	$ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $	$ \lambda $
均匀分布	$ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $	$ \frac{a + b}{2} $
正态分布	$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $	$ \mu $
指数分布	$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $	$ \frac{1}{\lambda} $

四、数学期望的应用

数学期望在多个领域都有广泛应用，例如：

- 金融投资：用于计算投资组合的预期收益。

- 保险精算：用于计算保险产品的预期赔付金额。

- 决策分析：帮助决策者在不确定环境下做出最优选择。

- 机器学习：用于模型预测和损失函数的优化。

五、总结

数学期望是概率论中的核心概念之一，它为我们提供了一种量化随机事件长期表现的方法。无论是离散型还是连续型随机变量，数学期望都能帮助我们理解其整体趋势。掌握不同分布的期望公式，有助于我们在实际问题中进行更准确的建模与分析。

通过表格形式的整理，可以更加清晰地看到各类分布的期望表达式，便于快速查阅与应用。

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