等比数列sn求和公式

【等比数列sn求和公式】在数学中，等比数列是一个重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。对于等比数列，我们常常需要计算前n项的和，即Sn。掌握等比数列Sn的求和公式是解决相关问题的关键。

一、等比数列的基本概念

- 首项（a）：数列的第一个数。

- 公比（r）：后一项与前一项的比值。

- 项数（n）：数列中包含的项的数量。

- 第n项（an）：数列的第n个元素，计算公式为：

$$

a_n = a \cdot r^{n-1}

$$

二、等比数列Sn的求和公式

等比数列前n项和Sn的公式根据公比r的不同而有所区别：

三、公式推导简要说明

设等比数列为：$ a, ar, ar^2, ..., ar^{n-1} $

则：

$$

S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

$$

将两边同时乘以公比r：

$$

rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n

$$

用原式减去新式：

$$

S_n - rS_n = a - ar^n

$$

$$

S_n(1 - r) = a(1 - r^n)

$$

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r = 1 $ 时，数列各项均为a，故：

$$

S_n = a + a + a + \cdots + a = a \cdot n

$$

四、应用示例

假设一个等比数列首项为2，公比为3，求前5项的和：

- $ a = 2 $

- $ r = 3 $

- $ n = 5 $

代入公式：

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242

$$

五、总结

等比数列的前n项和公式是数学中非常实用的工具，尤其在数列分析、金融计算等领域有广泛应用。掌握其公式及其适用条件，有助于快速准确地解决问题。

通过理解这些公式及其应用场景，可以更好地应对等比数列相关的数学问题。

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