等差等比数列以及相关公式

【等差等比数列以及相关公式】在数学中，数列是按一定顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种基本数列类型。它们不仅在数学理论中有重要地位，在实际应用中也广泛存在，如金融计算、物理运动分析等。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、通项公式、求和公式进行总结，并以表格形式清晰展示相关内容，便于理解和记忆。

一、等差数列

定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。

通项公式：

$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。

前 $ n $ 项和公式：

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$

二、等比数列

定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。

通项公式：

$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。

前 $ n $ 项和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

或

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$

三、对比总结表

四、小结

等差数列和等比数列是数列研究中的基础内容，掌握它们的通项公式和求和公式对于解决实际问题具有重要意义。等差数列适用于线性增长的情况，而等比数列则适用于指数增长或衰减的情形。理解两者的区别与联系，有助于更灵活地运用数列知识解决数学问题。

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